合成関数の微分と積分の変数変換
微分の連鎖公式
変数変換の基礎は微分における連鎖公式である。まず基本となるものを列挙しておこう。ご承知のこととは思われるが、いまいちど確認されたい。
＜合成関数の微分１＞
微分可能なtの関数x=x(t)で定義されたやはり微分可能なz=f(x(t))は、tに関して微分可能であって、次式が成り立つ。
＜合成関数の微分２＞
微分可能なtの関数x=x(t)、y=y(t)で定義されたやはり微分可能なz=f(x(t),y(t))は、tに関して微分可能であって、次式が成り立つ。
＜合成関数の微分３＞
偏微分可能なu,vの関数x=x(u,v)、y=y(u,v)で定義されたやはり微分可能なz=f(x(u,v),y(u,v))は、u,vに関して偏微分可能であって、次式が成り立つ。
積分の変数変換
合成関数の微分をおさらいした後で、つぎに積分における置換法である。これも確認しておこう。
＜置換積分公式１＞
有界な区間Eにあるtの関数x=φ(t)が区間Dにあるとき、xで定義された微分可能な関数z=f(φ(t))において、次式が成り立つ。
＜置換積分公式２＞
有界な領域Eにあるu,vの関数x=x(u,v)、y=y(u,v)が領域Dにあるとき、u,vで定義された連続な関数z=f(x(u,v),y(u,v))において、
が成り立つ。ここで|J|はヤコビアン(関数行列式)と呼ばれ、次のような行列式を表す。
例えば2変数を3変数として変数を増加さえたときはヤコビアンを増やせばよいことは類推できるであろう。
突き詰めるところ積分は単位当り量の加算である。ところが変数変換はこの単位当り量を変えてしまう。従って元の変数と変換された後の変数の変化の度合いを合わせるためにヤコビアンごときものが付加されることとなるとかんがえればよい。
合成関数の微分も含めて、上記の証明はいずれもファイナンスで応用の利く面白いものでもないので、興味ある方は成書を参考にされたい。