ブラック・ショールズ方程式による先物価格
ブラック・ショールズ偏微分方程式
ブラック・ショールズの偏微分方程式は次のような形式をとる。
ブラックとショールズはこの方程式を解いてオプション価格C(t,S)を求めることに成功した。詳しくはオプションプライシングで説明するが、その演繹の仮定を調べるとこの方程式は原資産Sが対数正規分布（伊藤過程）、
dSt=μStdt+σStdWt
に従うことと、無裁定というポートフォリオが複製できるという条件だけで得られている。すなわち、オプションはもちろん伊藤過程に従う原資産価格に依存するデリバティブ（数学的にはSとtに依存する関数）ならば、すべてこの方程式を満足するということになる。例えば、もっとも基本的な原資産そのものとするデリバティブを考えれば、C=Sとおけば、上の方程式を満足することは目視でも確認できる。
先物取引そのものは契約する（現）時点で価格が定まるからここで議論しているデリバティブではないが、先物を組み合わせた簡単なデリバティブを考えれば、それはやはりこの方程式を満足する。境界条件を正しく設定しうまく変換できれば、先物価格式を求めることができるはずである。しかもブラック・ショールズ式にはすでに確率項（ウィーナ過程：W）は含まれておらず、形式的には特別な不確実性に対する考慮は不要となっており、純粋に偏微分方程式が解ければよい。
この項では後のオプションに先立って、偏微分方程式を解くことで先渡価格Fを求めてみようというのである。そのために先渡契約が執行される期日Tに、S-Fがペイオフとなるデリバティブを考える。Fは過去に締結された先渡し契約による価格である。S-Fは過去に契約した先渡契約Fが刻々と変化する原資産価格Sによって生じる正味得失を表すと思えばよい。いわゆるオプションにある権利行使価格に見合うものはFが担うが、決してこのデリバティブは権利ではないことに注意しよう。そしてわれわれが求めたいものはFである。変数は次のとおり定義されている。
| デリバティブ価格 | C |
| 原資産価格 | S |
| 原資産期待収益率 | μ |
| 原資産ボラティリティ | σ |
| 先渡期日 | T |
| （任意）時点 | t |
| 安全資産利子率 | r |
| 先渡価格 | F |
偏微分方程式を解くといっても素手で立ち向かってはなかなか戦果は得られない。われわれはすでに基本解が得られている熱伝導方程式を利用することを戦術としよう。簡素化された熱伝導方程式とは、関数u=u(τ,x)について、
が成立するものをいい、この方程式は初期条件がu(0,x)=f(x)であるならば、
が解となることが知られている。ブラック・ショールズ式の変数変換を行い、この簡素化された方程式にたどりつくことで、自動的に解を求めてしまおうとするのである。以下では添え字のtは省略している。
変数変換
まず第一段階。各項のSが煩わしいので、これを消してしまい、定数係数の方程式に持ち込む。
を利用して各項を求める。
これらを元の偏微分方程式に代入する。
となる。Sが消えすこし式がさっぱりして、線型の方程式になった。
さらに変数変換を続ける。目標は右辺の第2、3項を消すことである。第二段階として次のようにおき、各項を求める。
先ほどの第一段階の最後の式に代入する。
ブラック･ショールズ式が簡素化された熱伝導方程式に切り換った。
初期条件の設定
変数変換を考慮して初期条件を設定しよう。τ=0なのでt=Tである。契約満了時TはペイオフがC(T,S)=S-Fとなるので、
が初期条件となる。
BS方程式の解
ここまでくればあとは大方の予想がつくだろう。これまでの式を整理すれば、
最後に、z={ (s-x)+(k+1)τ}/√(2 τ)と標準正規分布へ変数変換すれば、全域の積分が1となるので、
というデリバティブの価格が求められる。このデリバティブの価格式が当初のブラック・ショールズの方程式を満足していることは簡単に確かめられる。
しかし、冒頭に断ったようにこのデリバティブは権利ではない。契約で定められた先物価格Fがあるだけで、t＜T時点でのペイオフは常にゼロとなる。従ってこのデリバティブの価値はt＜T時点ではゼロであるから、C(t,S)=0となって、
S-Fe-r(T-t)=0
でなければならない。したがって先物価格Fが、
F=er(T-t)S
と求められる。
すでに説明したポートフォリオ複製の方法や裁定価格による方法に比べて、この偏微分方程式の解法は、いくつかの前提知識を受け入れてしまえばさほど難しくはないが、とはいえかなり煩雑ではある。しかしブラック・ショールズ式からオプション価格を求める際にも、この上の道筋とまったく同様の演繹をたどることがわかるだろう。計算の後半に出現する正規分布の二つの項から構成される式に、ブラック･ショールズのオプション公式との類似性を気づかれている方もおられるだろう。それらのことはいろんなデリバティブの価格を求める際の応用の広さを予感させ、偏微分方程式に用意されている数値解析と相俟って、実務での適用の強力さを物語っている。また偏微分方程式でない解法の際も、上記で取り組んだ標準正規分布変換などのよく似たテクニックが利用される場面に出会うことになるだろう。